谱方法(Spectral Method)基础知识

谱方法(Spectral Method)是配点法(Collocation Method)的一种。一般来说，配点法包括有限元方法(Finite Element)和谱方法(Spectral Method)。配点法的一般思路是：选取合适的函数基底，这些函数基底的导数都是已知的，求得叠加系数，将这些函数基底的组合作为边界条件下常微分方程的近似解。其中，有限元方法选用的函数基底是局域的(localized support)，即这些基底往往只在局部几个点处非零，比如B-样条；而谱方法选用的函数基底是全域的(global support)，即这些基底在整个实数域上大部分非零，比如多项式和三角函数。

对于一个线性常系数的常微分方程，一般都可以求得解析解的；但是对于线性但非常系数的情形，解析解不容易求。有的可以用特殊的换元方法（比如欧拉方程），有的必须用泰勒级数或者洛朗级数展开的方法求解，这种解一般也不会是初等函数，而是特殊函数/无穷级数这一类。不过只要是线性方程，使用谱方法求解总能化成线性方程组，因此特别简单。具体地说：

常微分方程： f ( y ( m ) , y ( m − 1 ) , . . . , y ( 3 ) , y ′ ′ , y ′ , y , t ) = 0 f(y^{(m)}, y^{(m-1)}, ..., y^{(3)}, y'', y',y, t)=0 f(y(m),y(m−1),...,y(3),y′′,y′,y,t)=0 ，其中 f f f 关于 y y y 的任意阶的导数都是线性的，即所有导数（包括零阶的原函数）的幂次都是1，所有项的次数也都是1。像这样的线性形式，我们或者也可以写成： A m ( t ) y ( m ) + A m − 1 ( t ) y ( m − 1 ) + . . . + A 2 ( t ) y ′ ′ + A 1 ( t ) y ′ + A 0 ( t ) y + A ( t ) = 0 A_m(t)y^{(m)}+A_{m-1}(t)y^{(m-1)}+...+A_2(t)y''+A_1(t)y'+A_0(t)y+A(t)=0 Am​(t)y(m)+Am−1​(t)y(m−1)+...+A2​(t)y′′+A1​(t)y′+A0​(t)y+A(t)=0 。

如果选择在两个上下界之中插入k个点进行配点，则总计配点个数为k+2=n，我们预计用这n个点的信息产生n个方程，此时可以确定含有n个未定参数的解析式，因此设： y ^ ( t ) = x 0 + x 1 t + x 2 t 2 + . . . + x n − 1 t n − 1 \hat{y}(t)=x_0+x_1t+x_2t^2+...+x_{n-1}t^{n-1} y^​(t)=x0​+x1​t+x2​t2+...+xn−1​tn−1 ，并用它作为 y ( t ) y(t) y(t) 的估计值。这样一来， y ^ ( t ) \hat{y}(t) y^​(t) 的任意阶导数总是很容易求得的，它就是： y ^ ( k ) ( t ) = ∑ i ≥ k n − 1 P i k x i t i − k = ∑ i ≥ k n − 1 i ! ( i − k ) ! x i t i − k \hat{y}^{(k)}(t)=\sum\limits_{i\geq k}^{n-1}P_i^kx_it^{i-k}=\sum\limits_{i\geq k}^{n-1}\frac{i!}{(i-k)!}x_it^{i-k} y^​(k)(t)=i≥k∑n−1​Pik​xi​ti−k=i≥k∑n−1​(i−k)!i!​xi​ti−k　　以上仅仅是一个最一般的表达式，事实上在使用过程中非常高阶的导数是很罕见的（至少在绝大多数物理问题中），最高阶为2是最为常见的，这些情形下 y ( t ) y(t) y(t) 的导数的表达式都很简单。

现在，我们拥有了可以求任意阶导数的估计值 y ^ ( t ) \hat{y}(t) y^​(t) 的表达式，其中有n个未定参数 x i x_i xi​ ，我们设上下界分别是 t 1 t_1 t1​ 和 t n t_n tn​ ，然后可以在区间内选取n-2个点 t 2 , t 3 , . . . , t n − 1 t_2, t_3, ..., t_{n-1} t2​,t3​,...,tn−1​ 。我们将用这n个点（配点）和 估计值 y ^ ( t ) \hat{y}(t) y^​(t) 的表达式，将线性的微分方程写成一个线性的代数方程。我们记：

f ( y ( m ) , . . . y ′ ′ , y ′ , y , t ) = 0 ⇒ A m ( t ) y ^ ( m ) ( t ) + . . . A 2 ( t ) y ^ ′ ′ ( t ) + A 1 ( t ) y ^ ′ ( t ) + A 0 ( t ) y ^ ( t ) + A ( t ) = ∑ k = 0 m A k ( t ) y ^ ( k ) ( t ) + A ( t ) = 0 f(y^{(m)}, ... y'', y', y, t)=0\quad \Rightarrow \quad A_m(t)\hat{y}^{(m)}(t)+...A_2(t)\hat{y}''(t)+A_1(t)\hat{y}'(t)+A_0(t)\hat{y}(t)+A(t)=\sum\limits_{k=0}^mA_k(t)\hat{y}^{(k)}(t)+A(t)=0 f(y(m),...y′′,y′,y,t)=0⇒Am​(t)y^​(m)(t)+...A2​(t)y^​′′(t)+A1​(t)y^​′(t)+A0​(t)y^​(t)+A(t)=k=0∑m​Ak​(t)y^​(k)(t)+A(t)=0　　只需要在n个配点上分别把 t = t i t=t_i t=ti​ 和 y ^ ( m ) ( t ) \hat{y}^{(m)}(t) y^​(m)(t) 的导数形式带入方程就可以了。我们得到：

∑ k = 0 m A k ( t ) y ^ ( k ) ( t ) + A ( t ) = ∑ k = 0 m A k ( t ) ∑ j ≥ k n − 1 P j k x j t j − k = ∑ k = 0 m ∑ j ≥ k n − 1 x j A k ( t ) P j k t j − k = 0 \sum\limits_{k=0}^mA_k(t)\hat{y}^{(k)}(t)+A(t)=\sum\limits_{k=0}^mA_k(t)\sum\limits_{j\geq k}^{n-1}P_j^kx_jt^{j-k}=\sum\limits_{k=0}^m\sum\limits_{j\geq k}^{n-1}x_jA_k(t)P_j^kt^{j-k}=0 k=0∑m​Ak​(t)y^​(k)(t)+A(t)=k=0∑m​Ak​(t)j≥k∑n−1​Pjk​xj​tj−k=k=0∑m​j≥k∑n−1​xj​Ak​(t)Pjk​tj−k=0　　代入n个配点 t i t_i ti​ 就得到了关于 x j x_j xj​ 的线性方程组： ∑ k = 0 m ∑ j ≥ k n − 1 A k ( t i ) P j k t i j − k x j = 0 \sum\limits_{k=0}^m\sum\limits_{j\geq k}^{n-1}A_k(t_i)P_j^kt_i^{j-k}x_j=0 k=0∑m​j≥k∑n−1​Ak​(ti​)Pjk​tij−k​xj​=0　　这里除了 x j x_j xj​ 以外，其他所有数据都是已知量（或者可以直接求出）；同时关于 x j x_j xj​ 均为一次关系，为关于 x j x_j xj​ 的线性方程组。利用解线性方程组的方法求得 x j x_j xj​ 后，就可以得到关于t的微分方程解的估计值表达式： y ^ ( t ) = ∑ k = 0 n x k t k \hat{y}(t)=\sum\limits_{k=0}^nx_kt^k y^​(t)=k=0∑n​xk​tk

当然，谱方法主要用于求解偏微分方程 #“Acoustic Perturbation Equations” (APE) 和 “Linearized Euler Equations” (LEE) 的区别 “Acoustic Perturbation Equations” (APE) 和 “Linearized Euler Equations” (LEE) 都是流体动力学中用于描述声波传播和小扰动的方程组，但它们的形式和假设不同。以下是这两组方程的基本形式：

APE方程通常具有以下形式，但可能根据具体的物理假设和简化而有所变化：

连续性方程（描述质量守恒）: ∂ ρ ′ ∂ t + ∇ ⋅ ( ρ u ′ ) + ∇ ⋅ ( ρ ′ U ) = 0 \frac{\partial \rho'}{\partial t} + \nabla \cdot (\rho \mathbf{u}') + \nabla \cdot (\rho' \mathbf{U}) = 0 ∂t∂ρ′​+∇⋅(ρu′)+∇⋅(ρ′U)=0 其中， ( ρ ′ ) (\rho') (ρ′) 是密度扰动， u ′ \mathbf{u}' u′是速度扰动， U \mathbf{U} U 是基础流体速度。

动量方程（描述动量守恒）: ρ ∂ u ′ ∂ t + ρ ( U ⋅ ∇ ) u ′ + ρ ( u ′ ⋅ ∇ ) U + ∇ p ′ = f ′ \rho \frac{\partial \mathbf{u}'}{\partial t} + \rho (\mathbf{U} \cdot \nabla) \mathbf{u}' + \rho (\mathbf{u}' \cdot \nabla) \mathbf{U} + \nabla p' = \mathbf{f}' ρ∂t∂u′​+ρ(U⋅∇)u′+ρ(u′⋅∇)U+∇p′=f′ 其中， p ′ p' p′ 是压力扰动，(\mathbf{f}') 是外部扰动力（如果有的话）。

状态方程（描述物质的状态，如理想气体状态方程）: p ′ p 0 = γ ρ ′ ρ 0 \frac{p'}{p_0} = \gamma \frac{\rho'}{\rho_0} p0​p′​=γρ0​ρ′​ 其中， p 0 p_0 p0​ 和 ρ 0 \rho_0 ρ0​ 分别是基础流体的压力和密度， γ \gamma γ是比热容比。

LEE方程是对不可压缩、无粘性Euler方程的线性化形式，通常具有以下形式：

连续性方程（描述质量守恒）: ∂ ρ ′ ∂ t + ρ 0 ∇ ⋅ u ′ + u ′ ⋅ ∇ ρ 0 = 0 \frac{\partial \rho'}{\partial t} + \rho_0 \nabla \cdot \mathbf{u}' + \mathbf{u}' \cdot \nabla \rho_0 = 0 ∂t∂ρ′​+ρ0​∇⋅u′+u′⋅∇ρ0​=0 其中， ρ 0 \rho_0 ρ0​ 是未扰动的流体密度， ρ ′ \rho' ρ′ 是密度扰动， u ′ \mathbf{u}' u′ 是速度扰动。

动量方程（描述动量守恒）: ρ 0 ∂ u ′ ∂ t + ∇ p ′ = 0 \rho_0 \frac{\partial \mathbf{u}'}{\partial t} + \nabla p' = 0 ρ0​∂t∂u′​+∇p′=0 其中， p ′ p' p′是压力扰动。

状态方程（描述物质的状态，通常假设为理想气体）: ∂ p ′ ∂ t + γ p 0 ∇ ⋅ u ′ = 0 \frac{\partial p'}{\partial t} + \gamma p_0 \nabla \cdot \mathbf{u}' = 0 ∂t∂p′​+γp0​∇⋅u′=0 其中， p 0 p_0 p0​ 是未扰动的流体压力。

LEE方程假设流体是不可压缩且无粘性的，因此比APE更简单，但适用性有限。两者的主要区别在于所包含的物理效应和适用范围。APE更一般化，能够描述包括基础流体运动在内的更复杂情况，而LEE则专注于理想流体中的小扰动。